Cлайд 1

МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ Фигура, образованная указанной поверхностью и одной из двух частей пространства, ею ограниченных, называется многогранным углом. Общая вершина S называется вершиной многогранного угла. Лучи SA1, …, SAn называются ребрами многогранного угла, а сами плоские углы A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 – гранями многогранного угла. Многогранный угол обозначается буквами SA1…An, указывающими вершину и точки на его ребрах. Поверхность, образованную конечным набором плоских углов A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 с общей вершиной S, в которых соседние углы не имеют общий точек, кроме точек общего луча, а не соседние углы не имеют общих точек, кроме общей вершины, будем называть многогранной поверхностью.

Cлайд 2

МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ В зависимости от числа граней многогранные углы бывают трехгранными, четырехгранными, пятигранными и т. д.

Cлайд 3

ТРЕХГРАННЫЕ УГЛЫ Теорема. Всякий плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов. Доказательство. Рассмотрим трехгранный угол SABC. Пусть наибольший из его плоских углов есть угол ASC. Тогда выполняются неравенства ASB ASC

Cлайд 4

ТРЕХГРАННЫЕ УГЛЫ Свойство. Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360°. Аналогично, для трехгранных углов с вершинами B и С имеют место неравенства: ABС

Cлайд 5

ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ Многогранный угол называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, т. е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий их отрезок. На рисунке приведены примеры выпуклого и невыпуклого многогранных углов. Свойство. Сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°. Доказательство аналогично доказательству соответствующего свойства для трехгранного угла.

Cлайд 6

Вертикальные многогранные углы На рисунках приведены примеры трехгранных, четырехгранных и пятигранных вертикальных углов Теорема. Вертикальные углы равны.

Cлайд 7

Измерение многогранных углов Поскольку градусная величина развернутого двугранного угла измеряется градусной величиной соответствующего линейного угла и равна 180о, то будем считать, что градусная величина всего пространства, которое состоит из двух развернутых двугранных углов, равна 360о. Величина многогранного угла, выраженная в градусах, показывает какую часть пространства занимает данный многогранный угол. Например, трехгранный угол куба занимает одну восьмую часть пространства и, значит, его градусная величина равна 360о:8 = 45о. Трехгранный угол в правильной n-угольной призме равен половине двугранного угла при боковом ребре. Учитывая, что этот двугранный угол равен, получаем, что трехгранный угол призмы равен.

Cлайд 8

Измерение трехгранных углов* Выведем формулу, выражающую величину трехгранного угла через его двугранные углы. Опишем около вершины S трехгранного угла единичную сферу и обозначим точки пересечения ребер трехгранного угла с этой сферой A, B, C. Плоскости граней трехгранного угла разбивают эту сферу на шесть попарно равных сферических двуугольников, соответствующих двугранным углам данного трехгранного угла. Сферический треугольник ABC и симметричный ему сферический треугольник A"B"C" являются пересечением трех двуугольников. Поэтому удвоенная сумма двугранных углов равна 360о плюс учетверенная величина трехгранного угла, или SA + SB + SC = 180о + 2 SABC.

Cлайд 9

Измерение многогранных углов* Пусть SA1…An – выпуклый n-гранный угол. Разбивая его на трехгранные углы, проведением диагоналей A1A3, …, A1An-1 и применяя к ним полученную формулу, будем иметь: SA1 + … + SAn = 180о(n – 2) + 2 SA1…An. Многогранные углы можно измерять и числами. Действительно, тремстам шестидесяти градусам всего пространства соответствует число 2π. Переходя от градусов к числам в полученной формуле, будем иметь: SA1+ …+ SAn = π (n – 2) + 2 SA1…An.

Cлайд 10

Упражнение 1 Может ли быть трехгранный угол с плоскими углами: а) 30°, 60°, 20°; б) 45°, 45°, 90°; в) 30°, 45°, 60°? Ответ: а) Нет; б) нет; в) да.

Cлайд 11

Упражнение 2 Приведите примеры многогранников, у которых грани, пересекаясь в вершинах, образуют только: а) трехгранные углы; б) четырехгранные углы; в) пятигранные углы. Ответ: а) Тетраэдр, куб, додекаэдр; б) октаэдр; в) икосаэдр.

Cлайд 12

Упражнение 3 Два плоских угла трехгранного угла равны 70° и 80°. В каких границах находится третий плоский угол? Ответ: 10о < < 150о.

Cлайд 13

Упражнение 4 Плоские углы трехгранного угла равны 45°, 45° и 60°. Найдите величину угла между плоскостями плоских углов в 45°. Ответ: 90о.

Cлайд 14

Упражнение 5 В трехгранном угле два плоских угла равны по 45°; двугранный угол между ними прямой. Найдите третий плоский угол. Ответ: 60о.

Cлайд 15

Упражнение 6 Плоские углы трехгранного угла равны 60°, 60° и 90°. На его ребрах от вершины отложены равные отрезки OA, OB, OC. Найдите двугранный угол между плоскостью угла в 90° и плоскостью ABC. Ответ: 90о.

Cлайд 16

Упражнение 7 Каждый плоский угол трехгранного угла равен 60°. На одном из его ребер отложен от вершины отрезок, равный 3 см, и из его конца опущен перпендикуляр на противоположную грань. Найдите длину этого перпендикуляра.

Cлайд 17

Упражнение 8 Найдите геометрическое место внутренних точек трехгранного угла, равноудаленных от его граней. Ответ: Луч, вершиной которого является вершина трехгранного угла, лежащий на линии пересечения плоскостей, делящих двугранные углы пополам.

Cлайд 18

Упражнение 9 Найдите геометрическое место внутренних точек трехгранного угла, равноудаленных от его ребер. Ответ: Луч, вершиной которого является вершина трехгранного угла, лежащий на линии пересечения плоскостей, проходящих через биссектрисы плоских углов и перпендикулярных плоскостям этих углов.

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Двугранные углы Работу выполнила: учитель математики Серебрянская Л. А.

Двугранный угол – это часть пространства, заключенная между двумя полуплоскостями, имеющими одну общую границу.

Полуплоскости α и β , образующие двугранный угол, называются его гранями

Выберем на ребре A D двугранного угла произвольную точку C и проведем через нее плоскость α перпендикулярно ребру AP Плоскость α пересекает грани двугранного угла по лучам a и b , которые образуют некоторый угол величиной φ . Этот угол называется линейным углом двугранного угла

При пересечении двух плоскостей образуются четыре двугранных угла. Величина меньшего из этих двугранных углов называется углом между этими плоскостями.

Если плоскости параллельны, то угол между ними равен 0° по определению. Если φ – величина угла между двумя плоскостями, то 0°

Задача В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол между плоскостями BC 1 D и BA 1 D . А В С Д А 1 В 1 С 1 Д 1

Задача Дано: куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 Найти: угол между плоскостями BC 1 D и BA 1 D Решение: А В С D А 1 В 1 С 1 D 1 О ∆ BDA 1 и ∆ DC 1 B – равные равнобедренные АО и С 1 О перпендикулярны DB =» А 1 О С 1 искомый С 1 О- диагональ квадрата со стороной равной 1.

http:// old.college.ru/mathematics/courses/stereometry/content/chapter3/section/paragraph6/theory.html http://e-science.ru/math/theory/? t=320

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Одной из основных тем в стереометрии является тема “Двугранные углы”. Несмотря на то, что понятия двугранного угла и его линейного угла учащиеся усваивают легко, возникает много затруднений при решени...

Презентация «Многогранный угол» - это наглядный материал для представления ученикам учебной информации по теме. В ходе презентации представляются теоретические основы понятия многогранного угла, доказываются основные свойства многогранного угла, которые необходимо знать для решения задач. С помощью пособия учителю легче сформировать представление о многогранном угле, умение решать задачи по теме. Презентация в числе других наглядных средств способствует повышению эффективности урока.

В презентации применяются приемы, способствующие улучшению подачи учебного материала. Это анимационные эффекты, выделение цветом, вставка рисунков, схем. Применяя анимационные эффекты, информация подается последовательно, выделяя важные моменты. С помощью анимации построения представляются более живыми, близкими к традиционной демонстрации с помощью классной доски, чтобы ученики легче понимали представляемые свойства. Использование средств выделения помогает ученикам легче запомнить учебную информацию.

Демонстрация начинается с напоминания учебного материала, с которого начиналось в курсе математики изучение углов. Определение угла как фигуры, состоящей из точки и двух лучей, что исходят из точки. Под определением дано изображение угла ∠АВС, обозначен угол, вершина и точки на лучах. Далее напоминается информация о том, что такое смежные углы ∠LOM и ∠MON. На рисунке изображены смежные углы, обозначены сами углы, вершина О и точки на лучах - L, M, N. Моделью угла служит циркуль, изображенный на слайде 4. Раствор циркуля может меняться, создавая углы различной величины.

С помощью слайда 5 ученикам напоминается определение двугранного угла как фигуры, составленной из двух полуплоскостей, не принадлежащих одной плоскости, и их общей границей - прямой. Под текстом определения изображен двугранный угол. Примерами многогранных углов служат крыши домов. На рисунке слайда 6 изображены здания с двугранной и многогранной крышей.

На слайде 7 демонстрируется изображение многогранного угла ОА 1 А 2 А 3 …А n . На рисунке обозначена вершина угла, на каждом луче отмечена точка, создавая обозначение многогранного угла по вершине и лучам. Обозначение выведено рядом с рисунком и заключено в рамку для запоминания. Рассматривается строение многогранного угла ОА 1 А 2 А 3 …А n .. На его изображении отмечена вершина О, ребра ОА 1 ,…, ОА n , плоский угол А 1 ОА 2 . Далее демонстрируется трехгранный угол ABCD, в котором отмечены плоские углы. Трехгранный угол AA 1 DB представлен в кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , изображенном на рисунке слайда 10. На изображении выделен трехгранный угол, формирующие грани которого окрашены в различные цвета, и обозначены плоские углы. Следующий слайд демонстрирует крыши зданий, у которых форма - шестигранный угол. На рисунке отмечен плоский угол и шестигранный угол.

Представлено свойство о существовании плоскости, пересекающей все ребра выпуклого многогранного угла. Чтобы понимать суть свойства, необходимо знать определение выпуклого угла. Оно отмечено рядом со свойством. В определении указано, что выпуклый угол находится по одну сторону от плоскости, которая содержит каждый из плоских углов. Условием теоремы о свойстве многогранного угла предусмотрено, что имеется выпуклый многогранный угол ∠ ОА 1 А 2 А 3 …Аn. На лучах ОА 1 и ОА 2 отмечены точки К и М, соединение которых составляет среднюю линию треугольника Δ ОА 1 А 2 . Плоскость, проходящая через КМ и некоторую точку А i , располагается таким образом, что все точки А 1 , А 2 , А 3 , …А n находятся по одну сторону от α, а вершина угла точка О лежит по другую сторону плоскости. Из этого следует, что плоскость пересекает все ребра выпуклого многогранного угла. Теорема доказана.

Следующая теорема, представленная на слайде 4, утверждает о том, что сумма всех плоских углов многогранного угла является меньшей 360°. Теорема формулируется в виде свойства, выделенного в красную рамку для запоминания. Доказательство свойства иллюстрируется на рисунке, на котором изображен многогранный угол ∠ ОА 1 А 2 А 3 …Аn. На многогранном угле отмечены вершина О, точки, принадлежащие лучам, А 1 , А 2 ,А 3 ,…Аn. Это выпуклый многогранный угол. Угол пересекается плоскостью, пересекающей лучи в точках А 1 , А 2 ,А 3 ,…Аn. Сумма плоских углов многогранного угла представлена выражением А 1 ОА 2 +А 2 ОА 3 +…+ А n ОА 1 . Зная сумму углов треугольника, каждый из плоских углов представляется выражениями, например, А 1 ОА 2 =180°- ОА 1 А 2 - ОА 2 А 1 и т.п. В результате преобразования выражения получаем 180°·n-(ОА 1 А n + ОА 1 А 2)-…-(ОА n А n-1 + ОА n А 1). Учитывая справедливость неравенства ОА 1 А n + ОА 1 А 2 > А n А 1 А 2 …, вычисляем 180°·n-(А n А 1 А 2 + А 1 А 2 А 3 +…+ А n-1 А n А 1 =180°·n-180°(n-2)=360°. Утверждение доказано.

Презентация «Многогранный угол» применяется для повышения эффективности традиционного урока в школе. Также данное наглядное пособие может стать инструментом преподавания в ходе дистанционного обучения. Материал может быть полезен ученикам, самостоятельно осваивающим тему, а также тем, кому требуется дополнительное занятие для более глубокого ее понимания.

Трехгранные углы. Теорема. Всякий плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов. Доказательство. Рассмотрим трехгранный угол SABC. Пусть наибольший из его плоских углов есть угол ASC. Тогда выполняются неравенства?ASB ? ?ASC < ?ASC + ?BSC; ?BSC ? ?ASC < ?ASC + ?ASB. Таким образом, остается доказать неравенство?ASС < ?ASB + ?BSC. Отложим на грани ASC угол ASD, равный ASB, и точку B выберем так, чтобы SB = SD. Тогда треугольники ASB и ASD равны (по двум сторонам и углу между ними) и, следовательно, AB = AD. Воспользуемся неравенством треугольника AC < AB + BC. Вычитая из обеих его частей AD = AB, получим неравенство DC < BC. В треугольниках DSC и BSC одна сторона общая (SC), SD = SB и DC < BC. В этом случае против большей стороны лежит больший угол и, следовательно, ?DSC < ?BSC. Прибавляя к обеим частям этого неравенства угол ASD, равный углу ASB, получим требуемое неравенство?ASС < ?ASB + ?BSC.

Слайд 3 из презентации «Многогранный угол» к урокам геометрии на тему «Углы в пространстве»

Размеры: 960 х 720 пикселей, формат: jpg. Чтобы бесплатно скачать слайд для использования на уроке геометрии, щёлкните на изображении правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как...». Скачать всю презентацию «Многогранный угол.ppt» можно в zip-архиве размером 329 КБ.

Скачать презентацию

Углы в пространстве

«Угол между прямыми в пространстве» - В кубе A…D1 найдите угол между прямыми: A1C1 и B1D1. Ответ: 45o. Ответ: 90o. В кубе A…D1 найдите угол между прямыми: AB1 и BC1. Угол между прямыми в пространстве. В кубе A…D1 найдите угол между прямыми: AA1 и BD1. В кубе A…D1 найдите угол между прямыми: AA1 и BC1. Ответ: В кубе A…D1 найдите угол между прямыми: AA1 и BC.

«Двугранный угол геометрия» - угол РСВ - линейный для двугранного угла с ребром АС. Угол РМТ - линейный для двугранного угла с РМКТ. К. В. Геометрия 10 «А» класс 18.03.2008. Двугранный угол. прямая ВО перпендикулярна ребру СА (по свойству равностороннего треугольника). В грани АСВ. (2) В грани МТК. KDBA KDBC.

«Вписанный угол» - 2 случай. В. Док-ть: Вершина не на окружности. А. 3 случай. 2. Тема урока: Вписанные углы. б). Повторение материала. Решение задач. Проблема № 1 ? Домашнее задание.

«Трёхгранный угол» - Следствия. 1) Для вычисления угла между прямой и плоскостью применима формула: . Дано: Оabc – трехгранный угол; ?(b; c) = ?; ?(a; c) = ?; ?(a; b) = ?. Доказательство I. Пусть? < 90?; ? < 90?; (ABC)?с. Трехгранный угол. Тогда?ОВС = 90? – ? < ?ОВА (следствие из формулы трех косинусов). Формула трех косинусов.